1:25 pm - Cumartesi Aralık 3, 2016

Limit ve Süreklilik Konu Anlatımı ve Ders Notları

Cumartesi, 29 Ekim 2016, 9:59 | Güncel | 12 Yorum

LİMİT ve SÜREKLİLİK

I. LİMİT

A. SOLDAN YAKLAŞMA, SAĞDAN YAKLAŞMA

x değişkeni a ya, a dan küçük değerlerle yaklaşıyorsa, bu tür yaklaşmaya soldan yaklaşma denir ve biçiminde gösterilir.

x değişkeni a ya, a dan büyük değerlerle yaklaşıyorsa, bu tür yaklaşmaya sağdan yaklaşma denir ve biçiminde gösterilir.

B. LİMİT KAVRAMI

Limit kavramını bir fonksiyonun grafiği üzerinde açıklayalım:

Grafiği verilen y = f(x) fonksiyonu için, apsisleri; x = a nın solunda yer alan ve giderek a ya yaklaşan A(x1, y4) , B(x2, y3) , C(x3, y2) , D(x4, y1), … noktalarını göz önüne alalım:

Bu noktaların apsisleri olan x1, x2, x3, x4, … giderek a ya yaklaşırken, ordinatları

f(x1) = y4, f(x2) = y3, f(x3) = y2, f(x4) = y1, … giderek b ye yaklaşır.

Bu durumu; x, a ya soldan yaklaşıyorken f(x) b ye yaklaşır şeklinde ifade edebiliriz. Bu durumda,

f(x) in x = a daki soldan limiti b dir denir. Ve

şeklinde gösterilir.

Yukarıdakine benzer şekilde, apsisleri x = a nın sağında yer alan ve giderek a ya yaklaşan

E(x8, y5) , F(x7, y6) , G(x6, y7) , H(x5, y8) , … noktalarını göz önüne alalım.

Bu noktaların apsisleri olan x8, x7 , x6 , x5 , … giderek a ya yaklaşırken, ordinatlar f(x8) = y5 , f(x7) = y6 , f(x6) = y7 , f(x5) = y8 , … giderek d ye yaklaşır.

Bu durumu “x, a ya sağdan yaklaşıyorken f(x) d ye yaklaşır.” şeklinde ifade edebiliriz.

Bu durumda; f(x) in x = a daki sağdan limiti d dir denir. Ve

biçiminde gösterilir.

Kural

f(x) fonksiyonunun x = a daki soldan limiti sağdan limitine eşit ise fonksiyonun x = a da limiti vardır ve x in a noktasındaki limiti L ise,

biçiminde gösterilir. x = a daki sağ limit ve sol limit değeri, fonksiyonun x = a daki limitidir.

f(x) fonksiyonunun x = a daki soldan limiti sağdan limitine eşit değil ise fonksiyonun x = a da limiti yoktur.

C. UÇ NOKTALARDAKİ LİMİT

f fonksiyonu [a, b) aralığından [c, d) aralığına tanımlı olduğu için, uç noktalardaki limitleri araştırılırken, sadece tanımlı olduğu tarafın limitine bakılarak sonuca gidilir.

Fonksiyonun bir noktada limitinin olması için, o noktada tanımlı olması zorunlu değildir. Buna göre,

Kural

D. LİMİTLE İLGİLİ ÖZELLİKLER

Özellik

f ve g , x = a da limitleri olan iki fonksiyon olsun.

Özellik

Özellik

Özellik

Özellik

Özellik

E. PARÇALI FONKSİYONUN LİMİTİ

Özellik

F. İŞARET FONKSİYONUNUN LİMİTİ

Özellik

f(x) = sgn [g(x)] olsun.

Bu sonuç genellikle doğrudur. Fakat az da olsa bu sonuca uymayan örnekler vardır.

Söz gelimi, f(x) = sgn(x2) fonksiyonunun x = 0 da limiti vardır ve 1 dir.

G. TAM DEĞER FONKSİYONUNUN LİMİTİ

Özellik

Bu sonuç genellikle doğrudur. Fakat az da olsa bu sonuca uymayan örnekler vardır.

Söz gelimi, fonksiyonunun x = 0 da limiti vardır.

H. NİN x = a DAKİ LİMİTİ

Özellik

I. TRİGONOMETRİK  FONKSİYONLARIN LİMİTİ

1. sinx in ve cosx in limiti

sinx ve cosx fonksiyonu bütün x reel değerleri için tanımlı olduğu için,

olur.

2. tanx in limiti

tanx fonksiyonu olmak üzere,

koşuluna uyan bütün x reel değerleri için tanımlı olduğu için,

olur.

Sonuç

3. cotx in limiti

cotx fonksiyonu olmak üzere, koşuluna uyan bütün x reel değerleri için tanımlı olduğu için,

olur.

Sonuç

J. BELİRSİZLİK DURUMLARI

belirsizlikleriyle karşılaştığımızda aşağıda verilen yöntemler kullanılarak limit hesaplanır. Bu limitler türevin içinde vereceğimiz L’Hospital kuralıyla da hesaplanabilir.

Kural

Kural

m, n Î N olmak üzere,

olur.

Kural

a > 0 olmak üzere, ¥ – ¥ belirsizliği olan limitler,

kuralını kullanarak hesaplanabilir.

Kural

Buna göre, 0 × ¥ belirsizliği veya belirsizliğine dönüştürülerek sonuca gidilir.

Kural

II. SÜREKLİLİK

Kural

f(x) fonksiyonu apsisi x = a olan noktada süreklidir.

Sonuç

y = f(x) fonksiyonu x = a da sürekli ise,

Uyarı

f(x) fonksiyonu apsisi x = a olan noktada sürekli değil ise, süreksizdir.

Kural

1. Bir fonksiyon bir noktada tanımsız ise, o noktada süreksizdir.

2. Bir fonksiyon bir noktada limitsiz ise, o noktada süreksizdir.

3. Bir fonksiyon bir noktada tanımlı ve limitli ancak, tanım değeri limit değerinden farklı ise, bu noktada süreksizdir.

 2017 YGS Soruları ve Yorumlar İçin Tıkla

12 yorum yazılmış, sizde hemen aşağıdan yorum yazabilirsiniz "Limit ve Süreklilik Konu Anlatımı ve Ders Notları"

  1. pirinçpilavı diyor ki:

    boyle konumu olur ya . abı duramadın konumu urettin …. sinirli

  2. Merdoğlan derki diyor ki:

    Sınava hepimiz girmezseks ertelenir 😂😂😂

    • MatınBacısınıKanırttım diyor ki:

      Aga gecenin 4 ünde napıyosun sen :) mat1 mi çalışıyosun yoksa subliminal mesaj mı veriyosun 😊

  3. Nur gndz diyor ki:

    Bu sene limitte degisiklik olmustu yenilenmemis galiba

  4. Barkın diyor ki:

    Her sene biri yorum yapmis 2016 dan selamlar

  5. Burak diyor ki:

    Aşağıda muhabbet gırla :DDD

  6. at kafası diyor ki:

    iyimiş :D

  7. tarhana çorbası diyor ki:

    hahaha :Ddd

  8. bulgurpilavı diyor ki:

    büşra ve sümeyye kesin la sesinizi.ders çalışıyoz :D

  9. büşra diyor ki:

    mat2 den nefret ediorum !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Yorum Yazın

Yararlı Bağlantılar