Diziler Konu Anlatımı ve Ders Notları

DİZİLER

A. TANIM

Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi adı verilir.

fonksiyonununda,

olduğuna göre,

biçiminde yazılabilir.

f fonksiyonu (dizisi) genel olarak,

biçiminde veya kısaca (a_n) biçiminde gösterilir.

a₁, dizinin 1. terimi (ilk terimi);

a₂, dizinin 2. terimi;

a₃, dizinin 3. terimi;

…

a_n, dizinin n. terimi (genel terimi) dir.

Uyarı

1. Genel terimi belirtilmeyen sayı grupları dizi meydana getirmezler. 2. Diziler değer kümesine göre adlandırılır. Değer kümesi; reel sayılar kümesi olan dizi reel sayı dizisi, karmaşık sayılar olan dizi karmaşık sayı dizisi adını alır.

B. SONLU DİZİ

Tanım kümesi A_k olan dizilere sonlu dizi denir.

C. SABİT DİZİ

Bütün terimleri birbirine eşit olan diziye sabit dizi denir.

D. EŞİT DİZİ

Her n pozitif tam sayısı için,

a_n = b_n

ise, (a_n) ve (b_n) dizilerine eşit diziler denir.

E. DİZİLERLE YAPILAN İŞLEMLER

(a_n) ve (b_n) birer dizi, c bir reel sayı olmak üzere,

F. MONOTON DİZİLER

Genel terimi a_n olan bir dizide eğer her için,

Uyarı

dizisinin monotonluk durumu aşağıdaki şekilde incelenir: 1. Paydanın kökü (cn + d = 0 denkleminin kökü) 1 den küçük ise dizi monotondur. Bu durumda, a) ad – bc > 0 ise dizi monoton artandır. b) ad – bc < 0 ise dizi monoton azalandır. c) ad – bc = 0 ise dizi sabittir. 2. Paydanın kökü (cn + d = 0 denkleminin kökü) 1 den büyük ise dizi monoton değildir.

G. ALT DİZİ

Bir (a_n) dizisi verilmiş olsun.

(k_n) artan bir pozitif tam sayı dizisi olmak üzere, dizisine (a_n) dizisinin alt dizisi denir ve biçiminde gösterilir.

H. DİZİLERİN YAKINSAKLIĞI VE IRAKSAKLIĞI

1. Komşuluk

a ve e birer reel sayı ve e > 0 olmak üzere,

açık aralığına a nın e (epsilon) komşuluğu denir.

Bu aralığı (kümeyi) T ile gösterirsek,

olur.

T kümesi sayı doğrusunda aşağıdaki gibi gösterilebilir.

Uyarı

1. (an) dizisinin, a nın e komşuluğundaki terimleri, eşitsizliğini sağlar. 2. (an) dizisinin, a nın e komşuluğu dışındaki terimleri, eşitsizliğini sağlar.

I. YAKINSAK DİZİLER ve IRAKSAK DİZİLER

(a_n) bir reel sayı dizisi, a sabit bir reel sayı olsun.

Her e pozitif reel sayısı için, (a_n) dizisinin hemen hemen her terimi, a nın e komşuluğunda bulunuyorsa, (a_n) dizisi a ya yakınsıyor denir.

(a_n) dizisi a sayısına yakınsıyorsa; (a_n) dizisine yakınsak dizi denir.

Yakınsak olmayan dizilere ıraksak diziler denir.

J. DİZİLERİN LİMİTİ

1. Limitin Tanımı

(a_n) bir reel sayı dizisi olsun.

(a_n) dizisi sabit bir a reel sayısına yakınsıyor ise, a sayısına (a_n) dizisinin limiti denir.

lim(a_n) = a ya da (a_n) ® a

biçiminde gösterilir.

Kural

1. (an) dizisi bir a reel sayısına yakınsıyorsa, bu dizinin her alt dizisi de a reel sayısına yakınsar. Bunun karşıtı doğru değildir. 2. Bir dizinin limiti varsa bir tanedir. 3. olmak üzere, (an) = (c) ise, lim(an) = lim(c) = c dir. (Her sabit dizi yakınsaktır.)

2. Limitle İlgili Özellikler

Kural

(an) ve (bn) birer dizi; a, b, c birer reel sayı olmak üzere,

K. GENİŞLETİLMİŞ REEL SAYILAR KÜMESİ

Reel sayılar kümesine, artı sonsuz (+¥) ve eksi sonsuz (–¥) kavramlarının katılmasıyla elde edilen

[–¥, +¥]

aralığına (kümesine) genişletilmiş reel sayılar kümesi denir.

1. Iraksak Diziler

Kural

1. Her K reel sayısı için, (an) dizisinin hemen hemen her terimi (+¥) un K komşuluğunda ise (an) dizisinin limiti (+¥) dur veya (an) dizisi (+¥) a ıraksar denir. 2. Her K reel sayısı için, (an) dizisinin hemen hemen her terimi (–¥) un K komşuluğunda ise (an) dizisinin limiti (–¥) dur veya (an) dizisi (–¥) a ıraksar denir. 3. (+¥) a veya (–¥) a ıraksayan dizilere ıraksak diziler denir.

2. Genişletilmiş Reel Sayılar Kümesinde İşlemler

Kural

Dizilerin limitleri bulunurken elde edilen, ifadeleri belirsizdir.

Kural

Kural

Kural

(an) bir dizi; c bir reel sayı olmak üzere,

Kural

(an) bir dizi olmak üzere,

Uyarı

(1n) sabit dizisi ile dizisi birbirine karıştırılmamalıdır.

Uyarı

Genel terimi rasyonel kesir olan dizilerin limitinin hesaplanmasında, aşağıdaki sıralama kullanılır.

Kural

Kural

(an) pozitif terimli bir dizi olsun.

3. Belirsizlik Durumları

a. Belirsizliği

Bu tür belirsizlikleri daha önce verdiğimiz kural yardımı ile sonuçlandırabiliriz.

b.  0 . ¥ Belirsizliği

Bu tür belirsizlikler, belirsizliğine dönüştürülerek limit bulunur.

c.  ¥ – ¥ Belirsizliği

¥ – ¥ tipindeki belirsizlikleri cebirsel işlemler yaparak giderebiliriz.

Kural

Bu belirsizliği ortadan kaldırmak için, (an) dizisinin payı ve paydası ifadesiyle genişletilir.

Uyarı

dizisinde (+¥) – (+¥) belirsizliği vardır. dizisinde belirsizlik söz konusu değildir. Bu dizide (+¥) + (+¥) durumu vardır. (+¥) + (+¥) = +¥ olduğu için, bu dizi +¥ a ıraksar.

Kural

a > 0 olmak üzere, olur.

L. SINIRLI DİZİLER

1. Üst Sınır

Her için, a_n £ M olacak şekilde bir M reel sayısı varsa (a_n) dizisine üstten sınırlıdır denir.

M sayısı da bu dizinin üst sınırı adını alır. M den büyük her reel sayı da (a_n) dizisinin üst sınırıdır.

Üstten sınırlı bir dizinin üst sınırlarından en küçük olanına dizinin en küçük üst sınırı (Eküs) denir.

(a_n) dizisinin Eküs ü, Eküs(a_n) biçiminde gösterilir.

2. Alt Sınır

Her için, m £ a_n olacak şekilde bir m reel sayısı varsa (a_n) dizisine alttan sınırlıdır denir.

m sayısı da bu dizinin alt sınırı adını alır. m den küçük her reel sayı da (a_n) dizisinin alt sınırıdır.

Alttan sınırlı bir dizinin alt sınırlarından en büyük olanına dizinin en büyük alt sınırı (Ebas) denir.

(a_n) dizisinin Ebas ı, Ebas(a_n) biçiminde gösterilir.

3. Sınırlı Diziler

Hem alttan hem de üstten sınırlı olan dizilere, sınırlı diziler denir.

Uyarı

1. Sınırlı bir dizide Eküs ve Ebas dizinin elemanı olmayabilir. 2. Monoton bir dizinin yakınsak olması için gerek ve yeter koşul, sınırlı olmasıdır. 3. Yakınsak her dizi sınırlıdır. Bu ifadenin karşıtı doğru olmayabilir. 4. Monoton ve yakınsak bir dizinin, ilk terimi ile limitinden; büyük olanı Eküs, küçük olanı Ebas tır.