Polinomlar Konu Anlatımı ve Ders Notları

POLİNOMLAR

A. POLİNOMLAR

olmak üzere,

P(x) = a0 + a1 × x + a2 × x2 + … + an × xn

biçimindeki ifadelere x değişkenine göre, düzenlenmiş reel kat sayılı polinom (çok terimli) denir.

Burada, a0, a1, a2, … an reel sayılarına polinomun kat sayıları,

a0, a1 × x , a2 × x2 , … , an × xn ifadelerine polinomun terimleri denir.

an × xn terimindeki an sayısına terimin kat sayısı, x in kuvveti olan
n sayısına terimin derecesi denir.

Derecesi en büyük olan terimin derecesine polinomun derecesi denir ve der[P(x)] ile gösterilir. Derecesi en büyük olan terimin kat sayısına ise polinomun baş kat sayısı denir.

Polinomlar kat sayılarına göre adlandırılırlar. Kat sayıları reel sayı olan polinomlara reel kat sayılı polinom, kat sayıları rasyonel sayı olan polinomlara rasyonel kat sayılı polinom, kat sayıları tam sayı olan polinomlara tam kat sayılı polinom denir.

Tanım

olmak üzere, P(x) = c biçimindeki polinomlara, sabit polinom denir. Sabit polinomun derecesi 0 (sıfır) dır.

Tanım

P(x) = 0 biçimindeki polinoma, sıfır polinomu denir. Sıfır polinomunun derecesi tanımsızdır.

Polinomların Eşitliği

Aynı dereceli terimlerinin kat sayıları eşit olan polinomlar eşittir.

B. POLİNOMLARDA İŞLEMLER

1. Toplama İşlemi

İki polinom toplanırken; dereceleri aynı olan terimlerin kat sayıları kendi aralarında toplanır, sonuç o terimin kat sayısı olarak yazılır.

2. Çıkarma İşlemi

P(x) – Q(x) = P(x) + [–Q(x)]

olduğu için, P(x) polinomundan Q(x) polinomunu çıkarmak, P(x) ile
–Q(x) i toplamaktır. Bunun için çıkarma işlemini, çıkarılacak polinomun işaretini değiştirip toplama yapmak biçiminde ele alabiliriz.

3. Çarpma İşlemi

İki polinomun çarpımı; polinomlardan birinin her teriminin diğer polinomun her bir terimi ile ayrı ayrı çarpımlarından elde edilen terimler toplamınarak yapılır.

4. Bölme İşleminin Yapılışı

Polinomlarda bölme işlemi, sayılarda bölme işlemine benzer şekilde yapılır. Bunun için sırasıyla aşağıdaki işlemler yapılır:

1) Bölünen ve bölen polinomlar x değişkeninin azalan kuvvetlerine göre sıralanır.

2) Bölünen polinomun soldan ilk terimi, bölen polinomun soldan ilk terimine bölünür. Çıkan sonuç, bölümün ilk terimi olarak yazılır.

3) Bulunan bu bölüm, bölen polinomun bütün terimleri ile çarpılarak, aynı dereceli terimler alt alta gelecek şekilde bölünen polinomun altına yazılır.

4) Bölünenin altına yazılan çarpım polinomu, bölünen polinomdan çıkarılır.

5) Yukarıdaki işlemlere, kalan polinomun derecesi, bölen polinomun derecesinden küçük oluncaya kadar devam edilir.

Tanım

m > n olmak üzere,

der[P(x)] = m ve der[Q(x)] = n olsun.

P(x) in Q(x) ile bölümünden elde edilen bölüm polinomu B(x) olsun.

Buna göre,

der[P(x) + Q(x)] = m,

der[P(x) – Q(x)] = m,

der[P(x) × Q(x)] = m + n,

der[B(x)] = m – n,

der[[P(x)]k] = k × der[P(x)] = k × m,

der[[P(xk)]] = k × der[P(x)] = k × m dir.

C. P(x) İN x = k İÇİN DEĞERİ

P(x) = a0 + a1 × x + a2 × x2 + … + an × xn

polinomunun x = k için değeri,

P(k) = a0 + a1 × k + a2 × k2 + … +an × kn dir.

Kural

P(x) = a0 + a1 × x + a2 × x2 + … + an × xn

polinomunda x = 1 yazılırsa,

P(1) = a0 + a1 + a2 + … + an olur.

Bu durumda P(1) in değeri P(x) polinomunun kat sayıları toplamıdır.

Sonuç

Herhangi bir polinomda x yerine 1 yazılırsa, o polinomun kat sayıları toplamı bulunur.

Örneğin, P(x + 7) polinomunun kat sayıları toplamı,

P(1 + 7) = P(8) dir.

Kural

P(x) = a0 + a1 × x + a2 × x2 + … + an × xn

polinomunda x = 0 yazılırsa,

P(0) = a0 olur.

Bu durumda P(0) ın değeri P(x) polinomunun sabit terimidir.

Sonuç

Herhangi bir polinomda x yerine 0 yazılırsa, o polinomun sabit (x ten bağımsız) terimi bulunur.

Örneğin, P(2x + 3) polinomunun sabit terimi,

P(0 + 3) = P(3) tür.

D. P(x) İN (ax + b) İLE BÖLÜNMESİYLE ELDE EDİLEN KALAN

P(x) in ax + b ile bölünmesiyle elde edilen bölüm B(x), kalan K olsun. Buna göre,

Yani; P(x) polinomunun ax + b ile bölünmesiyle elde edilen kalanı bulmak için, ax + b = 0 denkleminin kökü olan için P(x) polinomunun değeri olan hesaplanır.

Sonuç

P(x) polinomunun x – a ile bölümünden kalan P(a) dır.

P(x + b) polinomunun x – a ile bölümünden kalan
P(a + b) dir.

P(3x + b) polinomunun x – a ile bölümünden kalan
P(3 × a + b) dir.

E. P(x) İN xn + a İLE BÖLÜMÜNDEN KALAN

Kural

Derecesi n den büyük olan bir polinomun

xn + a ile bölümünden kalanı bulmak için, xn yerine –a yazılır.

(xn + a = 0 ise, xn = –a)

F. P(x) İN (x – a) × (x – b) ÇARPIMI İLE BÖLÜNMESİ

Kural

1) P(x) polinomu (x – a) × (x – b) çarpımı ile tam olarak bölünebiliyorsa x – a ve x – b çarpanları ile de ayrı ayrı tam olarak bölünür.

2) x – a ve x – b aralarında asal polinomlar olmak üzere;
P(x), bu polinomlara ayrı ayrı tam olarak bölünebiliyorsa, (x – a) × (x – b) çarpımı ile de tam olarak bölünür.

G. P(x) İN (a × x + b)2 İLE BÖLÜNEBİLMESİ

P(x) polinomu (ax + b)2 ile tam bölünebiliyorsa,

P(x) polinomu ve P'(x) polinomu ax + b ye tam olarak bölünür.
(P'(x), P(x) in türevidir.)

Buna göre, P(x) polinomu (ax + b)2 ile tam bölünebiliyorsa,

78 Yorum Yapılmış “Polinomlar Konu Anlatımı ve Ders Notları

  1. açıkcası çok basit olmuş beğendım biraz daha kapsamlı verın bune böle 6sınıf çocu anlar bunu

      1. Çok güzel anlatım var Polinom formülleri ve Konu Anlatımı sınav öncesi iyi pratik yapılır.

  2. ya arkadaşlar bana acil şu sorunun cevabı gerek::::p(x+2)polinomunun x-1 ile böl.kalan 3
    p(x+5
    q(x).(xüzeri kare+1 ====x3+x+1ise q(x)pol.x+2ile böl.kalan nolur hemen acilllll

    1. m=3n ise m yerine gidip 3n yazarız böylece 3n+2n=5n=10 yani n=2 o halde m=3n=3*(2)=6 o zaman 2m =12 olur :)

  3. güzel hazırlanmış hoşuma gitti ama örnekler az bence daha çok örnekle daha muhteşem olabilirdi.)

  4. lütfen bana yardımcı olun arkadaşlar açık öğrwtim lisesinde okuyorum az bir zaman kaldı sınva yardımcı olursanız sevinrw

  5. çok güzel olmuş ellerinize sağlık fakat bir sorum var ben bu konudan oek anlamıyorum bi el atarsanız;
    —————————————————
    B(x)=3x²-2x+1
    olduğuna göre,B(3x-1) polinomu aşağıdakilerden hangisine eşittir?
    ——————
    A=)27x²-24x+6 B=)27x²+24x+6
    C=)27x²+24x-6 D=)27x²-24x-6
    E=)27×2²-26x+4
    yardımcı olacak arkadaşlara teşekkürler…

    1. kardeşim çok basit oradaki her x yerine 3x-1 koyacaksın sonuç çıkar. 3(3x-1)in karesi gibi misal sonra -2(3x-1) koyacaksın sonuç çıkar.

    2. yeni polinomda bilinmeyen 3x-1 dir her x koyulan yere onu getirmeliyiz.Bu yüzden B(3x-1)=3.(3x-1).(3x-1)-2.(3x-1)+1=27x.x-24x+6

    3. Bu soruda B(x) polinomunda x gördüğün yere 3x-1 ‘i yazıp ifadeyi açıyorsun cevap A olacak

    4. x gördğüm yere 3x-1 yaz o da şöyle ==

      3(3x-1)kAresi – 2(3x-1)+1 işlemleri yap çıkarr :)

  6. butun özellıkler werılmıs elınıze saglık bu arada arkadaslar zaten baska bısı kalmamıs polınom konusu bu kadar bu özelllıklerle bol soru cözdükçe daha ii anlarsınız ….

  7. yaw arkadaş bı bok anlamadım sizden bıraz daha açık anlatın şu matematigi 5 yıldır görmüyom yüzünü unuttum yaw önümüzde ygs lys de var zaten psikolıjim bozuldu en sonunda ıhtıhar edecem yardım edın nereye gıdıyorum ben …

  8. Anca internetten falan bakarak anlayabiliyorum ,kendi çabamla. Güzel bir anadolu ögretmen lisesinde okuyorum ama malesef ögrencıye bır sey öğretmek yerine kendi rahatını bozmamayı tercih eden bir ögretmenimiz var hormon dengesi falan bozulmuş böyle bir görseniz. Kadın menepoza girmis, sinirini bizden çıkarıyor öyle söyleyim. Gelen gideni aratırmıs, gecen yılki öğretmenimizin kıymetini bilemedim… Neyse işte o sebepten dolayı bu tarz siteler de çok işime yarıyor emeği gecen herkese tesekkur ediyorum :)

  9. yahu bizim hoca konuyu anlatıyor ama çok kolay örnekler çözüyor. tamam sınavda da kolay soruyor işimize yarıyor ama deneme sınavlarında çuvallıyoruz neyse ki bu ders notları biraz işe yaradı… teşekkürler..

  10. ÖRNEKLER VE SORULAR ÇOK AZ OLMUŞ ONLARA DAHA AĞIRLIK VERMİSİ LAZIM AMA ANLATMA ŞEKLİ GÜZEL

      1. yürü be mal ney kötü başka yere girin o zaman sanki adam seni hapis alıyor ben çalıştım burdan ve yazılımda gayet iyi geçti o sizin mallığınız demekki .d

      1. hangi gülcanmısın ? iyi misin ya annenin kızı gülcanım nasıl tanımazsın beraber girdikya bu siteye .d

Bir Cevap Yazın

Top