Kümeler Kuramı

Kümeler Kuramı Hakkında Bilgi

Kümeler kuramı, matematiğin nesneler­den oluşan iyi tanımlanmış toplulukların özelliklerini inceleyen dalıdır. Söz konusu nesneler matematiksel nitelikli (örn. sayılar ya da fonksiyonlar) olabileceği gibi bu niteliği taşımıyor da olabilirler. Kümeler kuramı olağan yaşamdaki doğrudan uygula­malarda da yararlı olmakla birlikte, bu kuramın asıl önemi karmaşık ve gelişkin matematiksel kavramların tanımlanmasında değişik konulara uyarlanabilen ve kesin bir araç olmasından kaynaklanır.

Kümeler sonlu ya da sonsuz olabilir. Sonlu bir kümenin belirli sayıda öğesi (kümeyi oluşturan nesneler) vardır; örneğin l’den 1.000’e kadar bütün tamsayıların kümesi ya da belirli bir otobüs hattındaki bütün durak­ların kümesi sonlu kümelerdir. Buna karşı­lık sonsuz kümenin sonsuz öğesi bulunur; örneğin bütün pozitif tamsayıların kümesi ya da verilen bir doğru üzerindeki bütün noktaların kümesi sonsuz kümelerdir. Kü­meler, genellikle, öğeleri “{ }” ayraçları içinde gösterilerek belirlenir. Örneğin A olarak adlandırılan bir kümenin 1, 2 ve 3 sayılarından oluştuğu, A= {1, 2, 3} biçi­minde ifade edilir. Hiç öğesi bulunmayan küme boş küme olarak adlandırılır ve 0 simgesiyle gösterilir. Örneğin tek sayı ya da çift sayı olmayan tamsayılar kümesi boş kümedir.

Kümeler üzerinde işlemler arasında U simgesiyle gösterilen birleşim işlemi ile n simgesiyle gösterilen kesişim (arakesit) işle­mi yer alır. A ve B kümelerinin birleşimi A U B olarak gösterilir; bu küme, A kümesin­de ya da B kümesinde yer alan bütün öğelerin oluşturduğu kümedir. A ile S’nin kesişimi ise (An 8), hem A hem de B kümelerinde yer. alan öğelerin oluşturduğu küme olarak tanımlanır. Örneğin A= {1, 2, 3} ve 5= {3, 4, 5} ise AD B= {, 2, 3, 4, 5} ve ACB= {3} olur; benzer biçimde, Ç, bütün pozitif çift sayıların kümesi ve T, bütün pozitif tek sayıların kümesi ise, ÇuT pozitif tamsayılar kümesidir; Ç n T ise boş kümedir. Kesişimi boş küme olan kümeler ayrık küme olarak adlandırılır. Kümeler üzerinde tanımlanan bir başka işlem de kartezyen çarpımdır.

Kümeler arasında çeşitli bağıntılar tanım­lanabilir. Eşsayılı kümeler aynı sayıda öğe içeren kümelerdir. Örneğin A= {/, U m) ve B= {1, 2, 3, 4} kümeleri eşsayılıdır (A~B). Aynı öğelerden oluşan kümelere eşit kümeler denir. Örneğin A= {o, p, q} ve B= {p, q, o} kümeleri eşittir (A=B). Bir A kümesinin her öğesi bir B kümesinin de öğesi ise, A kümesi B kümesinin altkümesidir (ACB); örneğin A={1, 2, 3} vefl={l, 2, 3, 4, 5} ise A c S’dir. A kümesi B kümesinin altkümesi ise ve A+ B ise, A kümesi B kümesinin öz altkümesidir (AcB). A ve B kümeleri verilmişken, A kümesinin öğesi olup B kümesinin öğesi olmayan öğelerin oluşturduğu kümeye S’nin A’ dan farkı denir; bu küme A-B ya da AB simgesiyle gösterilir, örneğin A= [a, b, c, d, e) ve B= {b, e} iseA-B= {a, c, d} olur. Bir problemde ya da göz önüne alınan bir durumda ele alınan bütün öğelerin kümesi evrensel küme olarak adlandırılır (E ya da U); E-A kümesine ise A kümesinin tümleyeni denir ve A’ simgesiyle gösterilir.

Kümeler kuramının asıl önemi matematik­te ve mantıkta karmaşık kavramların çö­zümlenmesinde sağladığı kolaylıktır. Küme kavramı, sezgisel olarak, büyük olasılıkla sayı kavramından daha önce gelişmiştir. Bir sürüdeki hayvanların, hiçbir sayma işlemi yapmaksızın, bir torbadaki taş parçalarıyla ya da bir çubuğa açılan çentiklerle eşleştirilmesi buna bir örnek oluşturur. Matematik geliştikçe küme kavramı da, matematikçile­rin, belirli bir sistematik içinde olmasa bile, giderek daha çok yararlandıkları bir kavram olmuştu. 19. yüzyılda İngiliz matematikçi George Boole ve Alman matematikçi Georg Cantor simgesel mantıkta ve sa­yılar kuramında küme kavramının önemi­ni ve yararım ortaya koydular.

Kümeler kuramının kurucusu olarak kabul edilen Georg Cantor sonluötesi sayılara ilişkin genel kuramı geliştirmiştir. Gerçek bir sonsuz kavramı üzerinde ısrarla duran, bir başka deyişle, sonsuz kümeleri matema­tiğin öğeleri olarak sayılarla ve sonlu küme­lerle aynı önem ve düzeyde ele alan Cantor, matematiğin felsefi temellerinde bir devrim gerçekleştirmiştir. Cantor, kuramını, özel aksiyomlara dayanmaksızın, bazı varsayım­lardan yola çıkarak geliştirmişti.

Kümeler kuramında ortaya konan ilk aksi­yomların çelişkilere yol açtığı, 1900 dolayla­rında Bertrand Russell ve başka matematik­çiler tarafından ileri sürüldü. Bu aksaklıkların giderilmesi, modern kümeler kuramının temeli olarak iki farklı sistemin ortaya çıkmasına yol açtı. Bunlardan birincisi 1908’de Ernst Zermelo tarafından ortaya kondu ve 1920’lerin başlarında Abraham Fraenkel ve Thoralf Skolem tarafından geliştirildi. İkinci sistemi, 1920’lerin sonla­rında, John von Neumann ortaya attı; bu sistem daha sonra Paul Bernays ve Kurt Gödel tarafından geliştirildi. Bu sistem­lerin ikisi de kümeler kuramının başlangıçta içerdiği çelişkileri ortadan kaldırmayı başar­mış, ama matematiğin tümüne eksiksiz bir temel oluşturma amacına erişmekten uzak kalmıştır. Ayrıca bak. Boole cebiri; Cantor köşegen yöntemi; Cantor paradoksu.

Kümeler kuramının özellikleri hakkında bilgi verdik.