Noktanın Analitik İncelenmesi Konu Anlatımı ve Ders Notları

1. Analitik Düzlem

Bir düzlemde dik kesişen iki sayı doğrusunun oluşturduğu sisteme analitik düzlem denir. Analitik düzlem, dik koordinat sistemi veya dik koordinat düzlemi olarak da adlandırılır.

Dik koordinat sistemi

Dik koordinat sisteminde yatay eksen x ekseni (apsis ekseni), düşey eksen ise y ekseni (ordinat ekseni) dir.

Eksenlerin kesiştiği noktaya orijin denir.

Analitik düzlemde her noktaya bir (x, y) sayı ikilisi karşılık gelir. Bu sayı ikilisine noktanın koordinatları denir.

P(x, y) noktası için, x noktanın apsisi, y de ordinatıdır. Apsis ve ordinat değerleri eksenlere çizilen dik doğruların eksenleri kestiği noktalardır.

blank

Orijinin koordinatları O(0,0) dır.

x ekseni üzerindeki noktaların ordinatı sıfırdır. A(a, o) noktası gibi. y ekseni üzerindeki noktaların ise apsisi sıfırdır. B(o, b) noktası gibi.

  • Koordinat eksenleri analitik düzlemi dört bölgeye ayırırlar.

I. Bölge: x > 0
y > 0

II. Bölge: x < 0
y > 0

III. Bölge: x < 0
y < 0

IV. Bölge: x > 0
y < 0

blank

2. İki nokta arasındaki uzaklık

a. Apsisleri veya ordinatları eşit olan noktalar arasındaki uzaklık.

  • Apsisleri eşit olan iki nokta arasındaki uzaklık, bu iki noktanın ordinatları farkının mutlak değeridir.A(a, c) ve

    B(a, b) noktaları için

    |AB| = |c – b|

blank
  • Ordinatları eşit olan iki nokta arasındaki uzaklık, bu iki noktanın apsisleri farkının mutlak değeridir.

A(b, a) ve

B(c, a) noktaları için

|AB| = |c – b|

blank

b. Apsisleri ve ordinatları farklı noktalar arasındaki uzaklık

blank

Analitik düzlemde A(x1,y1) ve B(x2,y2) noktaları arasındaki uzaklık |AB| biçiminde gösterilir.

A ve B noktalarının analitik düzlemdeki yerleri belirtildiğinde AKB dik üçgeni meydana gelir.

AKB dik üçgeninde [AB] hipotenüsdür. [AK] dik kenar uzunluğu iki noktanın apsisleri farkı (x2 – x1) ve [BK] dik kenar uzunluğu iki noktanın ordinatları farkı (y2 – y1) dir.

Pisagor teoreminden iki nokta arası uzaklık;

blank

eşitliği ile bulunabilir.

Burada x1 ile x2 nin ve y1 ile y2 nin yer değiştirmesi sonucu değiştirmez.

  • İki nokta arası uzaklık bulunurken dik üçgenden de yararlanılabilir.
İki noktanın ordinatları farkı dik üçgenin bir kenarı, apsislerifarkı ise diğer dik kenarıdır.

Dik üçgenin hipotenüsü bize iki nokta arası uzaklığı verir.

blank
c. Bir noktanın orijine uzaklığıP(a,b) noktasının orijine uzaklığı

blank
blank

3.Orta Nokta Koordinatları

blank

Yukarıdaki şekilde A(x1, y1) noktası ile B(x2, y2) noktası veriliyor. [AB] doğru parçasının ortasındaki nokta K(x0, y0) noktası ise

blank
blank
  • Köşegenleri birbirini ortalayan dörtgenlerde (kare,dikdörtgen, paralelkenar, eşkenar dörtgen) karşılıklı köşelerin koordinatları toplamları eşittir.
ABCD paralelkenar olduğundan [AC] nin orta noktası, [BD] nin de orta noktasıdır.Buradan;

x1 + x3 = x2 + x4

y1 + y3 = y2 + y4

blank

4.Belli Oranda Bölen Nokta Koordinatları

blank

Belli oranda bölen noktayı bulurken; verilen oranlar ile apsisler farkı ve ordinatlar farkı arasında benzerlikten kaynaklanan bir eşitlik oluşur.

A(x1,y1) , B(x2,y2) ve C(x3,y3) noktaları için,

blank
eşitliği vardır.

Belli oranda bölen noktayı bulurken yukarıdaki eşitlikten faydalanarak aşağıdaki metod kullanılabilir.

m uzunluğunda (x2 – x1) kadar değişirse

n uzunluğunda (x3 – x2) kadar değişir.

Değişme miktarı artma yada azalma olabilir. Önemli olan noktaların aynı doğrultuda olması ve aynı yönde hareket etmektir. Aynı şeyler ordinatlar için de geçerlidir.

m uzunluğunda (y2 – y1) kadar değişirse

n uzunluğunda (y3 – y2) kadar değişir.

5. Üçgenin Ağırlık Merkezinin Koordinatları

ABC üçgeninin köşe koordinatları
A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3) ve ağırlık merkezi G(xG,yG) ise ağırlık merkezi koordinatları:
blank
blank
blank

Bu eşitlikler belli oranda bölen nokta özellikleri kullanılarak elde edilebilir.

6. Köşe Noktalarının Koordinatları Bilinen Üçgenin Alanı

Köşe koordinatları A(x1,y1), B(x2,y2) ve C(x3,y3) olan ABC üçgeni veriliyor.

blank blank
blank

Köşe koordinatları bilinen üçgenin alanını bulmak için yukarıda olduğu gibi köşe koordinatları alt alta yazılır. İlk yazılan en alta ilave edilir ve şekildeki gibi çarpılır. Elde edilen sonuç ikiye bölünerek alan değeri bulunur. Alan negatif olamayacağından, sonuç negatifte çıksa pozitif kabul edilir. (Mutlak değeri alınır.)

Üç köşesinin koordinatları bilinen bir üçgenin alanı, üçgen analitik düzlemde çizilerek de bulunabilir.

  • Köşe koordinatlarından herhangi ikisinin apsisleri yada ordinatları eşit ise üçgenin kenarlarından biri eksenlere paralel olur. Bu durumda üçgenin alanı çizilerek de bulunabilir.
  • Bir üçgenin alanının sıfır çıkması, köşe koordinatları olarak verilen üç noktanın doğrusal üç nokta olduğunu gösterir.

6 yorum

  1. Biraz eksikleri olsada konu anlatımı çok güzel olmuş sitedeki bu ve diğer derslerin eksikleri giderilirse inanıyorumki çok faydalı ve güzel bi site ortaya çıkacaktır…

    SAYGILAR…

Hemen Yorum Yaz

Adını veya rumuzunu yazabilirsin.