FONKSİYON
A. TANIM
A ¹ Æ ve B ¹ Æ olmak üzere, A dan B ye bir b bağıntısı verilmiş olsun.
A nın her elemanı B nin elemanlarıyla en az bir kez ve en çok bir kez eşleniyorsa bu bağıntıya fonksiyon denir.
“x Î A ve y Î B olmak üzere, A dan B ye bir f fonksiyonu
f : A ® B ya da x ® f(x) = y biçiminde gösterilir. A ya fonksiyonun tanım kümesi, B ye de değer kümesi denir.
Yukarıda A dan B ye tanımlanan f fonksiyonu
f = {(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 2)}
biçiminde de gösterilir.
Ü | Her fonksiyon bir bağıntıdır. Fakat her bağıntı fonksiyon olmayabilir. |
Ü | Görüntü kümesi değer kümesinin alt kümesidir. |
Ü | s(A) = m ve s(B) = n olmak üzere,
i) A dan B ye nm tane fonksiyon tanımlanabilir. ii) B den A ya mn tane fonksiyon tanımlanabilir. iii) A dan B ye tanımlanabilen fonksiyon olmayan bağıntıların sayısı 2m × n – nm dir. |
Ü | Grafiği verilen bir bağıntının fonksiyon olup olmadığını anlamak için, y eksenine paralel doğrular çizilir. Bu doğrular fonksiyonun belirttiği eğride en az bir ve en çok bir noktayı kesiyorsa verilen bağıntı x ten y ye bir fonksiyondur. |
B. FONKSİYONLARDA İŞLEMLER
A Ç B ¹ Æ olmak üzere,
fonksiyonları tanımlansın.
- (f + g) : A Ç B ® , (f + g)(x) = f(x) + g(x)
- (f – g) : A Ç B ® , (f – g)(x) = f(x) – g(x)
- (f × g) : A Ç B ® , (f × g)(x) = f(x) × g(x)
- “x Î A Ç B için, g(x) ¹ 0 olmak üzere,
- c Î olmak üzere,
(c × f) : A ® , (c × f)(x) = c × f(x) tir.
C. FONKSİYON ÇEŞİTLERİ
1. Bire Bir Fonksiyon
Bir fonksiyonda farklı elemanların görüntüleri de farklıysa fonksiyon bire birdir..
BBuna göre, bire bir fonksiyonda,
“x1, x2 Î A için, x1 ¹ x2 iken f(x1) ¹ f(x2) olur.
Diğer bir ifadeyle,
“x1, x2 Î A için, f(x1) = f(x2) iken
x1 = x2 ise, f fonksiyonu bire birdir.
Ü | s(A) = m ve s(B) = n (n ³ m) olmak üzere,
A dan B ye tanımlanabilecek bire bir fonksiyonların sayısı, |
2. Örten Fonksiyon
Görüntü kümesi değer kümesine eşit olan fonksiyonlara örten fonksiyon denir.
Ü | f : A ® B
f(A) = B ise, f örtendir. |
Ü | s(A) = m olmak üzere, A dan A ya tanımlanabilen bire bir örten fonksiyonların sayısı,
m! = m × (m – 1) × (m – 2) × … × 3 × 2 × 1 dir. |
3. İçine Fonksiyon
Örten olmayan fonksiyona içine fonksiyon denir.
Ü | İçine fonksiyonun değer kümesinde eşlenmemiş eleman vardır. |
Ü | s(A) = m olmak üzere, A dan A ya tanımlanabilen içine fonksiyonların sayısı mm – m! dir. |
4. Birim (Etkisiz) Fonksiyon
Her elemanı kendisine eşleyen fonksiyona birim fonksiyon denir.
ise, f birim (etkisiz) fonksiyondur.
Ü | Birim fonksiyon genellikle I ile gösterilir. |
5. Sabit Fonksiyon
Tanım kümesindeki bütün elemanları değer küme-sindeki bir elemana eşleyen fonksiyona sabit fonksiyon denir.
Ü | “x Î A ve c Î B için,
f : A ® B f(x) = c ise, f sabit fonksiyondur. |
Ü | s(A) = m, s(B) = n olmak üzere,
A dan B ye n tane sabit fonksiyon tanımlanabilir. |
6. Çift ve Tek Fonksiyon
f(–x) = f(x) ise, f fonksiyonu çift fonksiyondur.
f(–x) = –f(x) ise, f fonksiyonu tek fonksiyondur.
Ü | Çift fonksiyonların grafikleri Oy eksenine göre simetriktir. |
Ü | Tek fonksiyonların grafikleri orijine göre simetriktir. |
D. EŞİT FONKSİYON
f : A ® B
g : A ® B
Her x Î A için f(x) = g(x) ise, f fonksiyonu g fonksiyonuna eşittir.
E. PERMÜTASYON FONKSİYON
f : A ® A
olmak üzere, f fonksiyonu bire bir ve örten ise, f fonksiyonuna permütasyon fonksiyon denir.
A = {a, b, c} olmak üzere, f : A ® A
f = {(a, b), (b, c), (c, a)}
fonksiyonu permütasyon fonksiyon olup
biçiminde gösterilir.
F. TERS FONKSİYON
f : A ® B, f = {(x, y)|x Î A, y Î B} bire bir ve örten fonksiyon olmak üzere,
f–1 : B ® A, f–1 = {(y, x)|(x, y) Î f} fonksiyonuna f nin ters fonksiyonu denir.
(x, y) Î f ise, (y, x) Î f–1 olduğu için,
y = f(x) ise, x = f–1(y) dir. Ayrıca, (f–1)–1 = f dir. |
(f–1)–1 = f dir. Ancak, (f–1(x))–1 ¹ f(x) tir. |
f fonksiyonu bire bir ve örten değilse, f–1 fonksiyon değildir. |
f : A ® B ise, f–1 : B ® A olduğu için, f nin tanım kümesi, f–1 in değer kümesidir. f nin değer kümesi de, f–1 in tanım kümesidir. |
f(a) = b ise, f–1(b) = a dır.
f–1(b) = a ise, f(a) = b dir. |
Ü | y = f(x) fonksiyonunun grafiği ile y = f–1(x) in grafiği y = x doğrusuna göre birbirinin simetriğidir. |
Ü | olmak üzere, |
Ü | olmak üzere, |
G. BİLEŞKE FONKSİYON
f : A ® B, g : B ® C fonksiyonları tanımlansın.
f ve g yi kullanarak A kümesinin elemanlarını C kümesinin elemanlarına eşleyen fonksiyona g ile f nin bileşke fonksiyonu denir.
Buna göre,
f : A ® B ve g : B ® C olmak üzere, gof : A ® C fonksiyonuna f ile g nin bileşke fonksiyonu denir ve g bileşke f diye okunur.
Ü | (gof)(x) = g[f(x)] tir. |
Bileşke işleminin değişme özeliği yoktur.
Bu durumda, fog ¹ gof dir. Bazı fonksiyonlar için fog = gof olabilir. Ancak bu “fonksiyonlarda değişme özeliği yoktur.” gerçeğini değiştirmez. |
Ü | Fonksiyonlarda bileşke işleminin birleşme özeliği vardır.
Bu durumda (fog)oh = fo(goh) = fogoh olur. |
Ü | I birim fonksiyon olmak üzere,
foI = Iof = f ve f–1of = fof–1 = I dır. |
Ü | f, g ve h fonksiyonları bire bir ve örten olmak üzere,
(fog)–1 = g–1of–1 ve (fogoh)–1 = h–1og–1of–1 dir. |
Ü | (fog)(x) = h(x)
ise, f(x) = (hog–1)(x) dir. ise, g(x) = (f–1oh)(x) tir. |
• f–1 (x) = f(x) tir. • (fof) (x) = x • (fofof) (x) = f(x) • (fofofof) (x) = x … |
H. FONKSİYONUN GRAFİĞİ
Bir fonksiyonun elemanlarına analitik düzlemde karşılık gelen noktaların kümesine bu fonksiyonun grafiği denir.
f : A ® B, f = {(x, y)|x Î A, y Î B, y = f(x)}
(a, b) Î f
olduğundan f(a) = b dir. Ayrıca, f–1(b) = a dır. |
Ü |
Yukarıdaki y = f(x) fonksiyonunun grafiğine göre, f(–3) = 3, f(–2) = 1, f(–1) = 2, f(0) = 2, f(1) = 1, f(2) = 0, f(3) = 2, f(4) = 1, f(5) = 0 dır. |
GÜZEL ANLATMIŞ
Süper olmuş
Bu ne ya yapıyorsanız dogru düzgün bir şey ortaya koyar insan ya.yok yani yookk.bunları ben mi size söyliycem bilmiyorum Vallah.
fonksiyonu çıkaranın anasının Am*na koy*m
Ah keşke biraz daha açık olsaydı ve örnek olsaydı
Allah razı olsun proje ödevimi yaptim
TÜRKÇE BİZİM ANA DİLİMİZ
SAHİP ÇIKALIM HEPİMİZ.:)
Çok iyi.Hazırlayan herkezden Alllah razı olsun…
cok tesekurler isime cok yaradi
bence cok guzel butun konular var
Gercekten çok işime yaradı teşekürler
Anlayamadım biraz detaylı anlatsalar daha iyi anlayacaktım
birazda örnek olsaydı daha iyi olurdu…
Saolun İnşallah yarın meral beğenir bunu :D
Işime yardımci oldu yapanlar tskler
önemli bilgileri yani notları tam olarak alamadım ama yine de işime yaradı sağolun
iğrenç bir konu
süper çok güzel olmuşşşşşşş
bilgi açısından okuldakilerden daha iyi ve ayrıntılı güzel bence.
Son grafiğin pek açıklaması yok ya
gerçekten emeğinize sağlık çok işime yaradı :D
çook teşekkürler ödevim için tam aradığım şey bu
Çok teşekkür ederim matematik dönem ödevimi sayenizde yaptım Allah sizden razı olsun :)
idare eder
güzel olmuş dönem odevimi yağtım :)
cok guzel olmus katılıyorum
çok saolun
site çok güzel fakat aradığım şey tanım .iyi günler
çok saolun çok güzel olmuş
çok saolun
türkiyede bilgi anlayışını tamamen değiştiren siz değerli arkadaşlarımıza teşekkür ederiz
sağlık sen öğrencileri
emeği geçen herkese çok teşekkürler :)
Çok sağolun çok işe yaradı.
işime yaradı tesekkürler :D
Bence cok guzel olmus cok anlasilir olmus tesekkurler :-)
İyi olmuş ama bir de video olsa daha iyi olacak
ÇOK GÜZEL TAM SNAVDA SORULACAK SORULAR
hiç birşey anlamadım çok karışık
beyler benim anlamadıgım konu a1 e gidiyor b2 ye c3 e d2 ye neden gidiyor onu çözmüş degilim biraz yardım :/
onun kuralı var bedirhan
Emeginize saglik cok guzel olmus
saolun çok işime yaradı :))
çok işime yaradı
evett,,,
güsell .,,,
kötü